2 vektoren multiplizieren

In diesem Artikel erklären wir dir, was das Skalarprodukt ist und wie du es berechnest. Du möchtest das Thema Skalarprodukt schnell verstehen? Dann schau dir doch unser Video dazu an! Als Ergebnis erhältst du eine reelle Zahl , auch Skalar genannt. Für das Skalarprodukt gibt es verschiedene Schreibweisen : , ,. Sie meinen alle das Gleiche. Du benutzt das Skalarprodukt meistens, um die geometrische Lage von Vektoren zu beschreiben. Eine ausführlichere Erklärung und viele Beispiele siehst du jetzt. Hast du zwei Vektoren und in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben, so lässt sich das Skalarprodukt berechnen mit. Betrachte die Vektoren und. Zuerst multiplizierst du die beiden Vektoren komponentenweise miteinander. Du hast die Vektoren und gegeben. Dabei gehst du hier genauso vor, wie im vorherigen Beispiel, nur dass du eine Komponente mehr hast. Damit erhältst du. In diesem Abschnitt zeigen wir dir ein paar Eigenschaften des Skalarprodukts. Dabei sind , und drei Vektoren, k eine reelle Zahl und der Winkel zwischen und :.

Vektorprodukt: Das Kreuzprodukt zweier Vektoren

Als Ergebnis bekommst du eine einzelne Zahl. Zur Berechnung des Skalarprodukts von zwei Vektoren und gehören zwei Schritte:. Insgesamt kannst du dir für die Multiplikation von Vektoren mit dem Skalarprodukt die folgende Formel merken:. Aber wozu ist das Skalarprodukt gut? Du brauchst es beispielsweise um…. Wie genau die Multiplikation von Vektoren dort zum Einsatz kommt, erfährst du in den nächsten Abschnitten! Wenn du wissen willst, wie lang ein Vektor ist, bestimmst du seinen Betrag. Dazu berechnest du zunächst das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Daraus ziehst du dann die Wurzel. Der Betrag von wäre also:. Am Skalarprodukt kannst du ablesen, ob zwei Vektoren und senkrecht orthogonal zueinander stehen. Ergeben die beiden Vektoren multipliziert im Skalarprodukt 0 , sind sie orthogonal zueinander — wie in diesem Beispiel:. Das Skalarprodukt der Vektoren und ergibt Auch wenn das Skalarprodukt von zwei Vektoren nicht 0 ergibt, kannst du diese Art der Vektor Multiplikation nutzen, um etwas über die Lage der Vektoren zueinander herauszufinden.

Skalarprodukt: Multiplikation von Vektoren im Raum

Mathematisch definiert sind Vektoren Objekte, die eine parallele Verschiebung in einem Raum oder einer Ebene beschreiben. Nichtmathematisch ausgedrückt ist ein Vektor ein Pfeil, der eine Richtung und eine Länge hat, wobei die Länge durch den Betrag des Vektors und die Richtung der Vektoren durch Spaltenvektoren angegeben wird. Auch bei Vektoren sind mathematische Operationen möglich, wie z. Ziel des Vektorproduktes ist es, zwei Vektoren multiplikativ zu einem neuen Vektor zu verknüpfen. Wie bereits erwähnt, entsteht durch Multiplikation von Vektoren zum Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt ein neuer Vektor. Mit Hilfe dieses Vektors lassen sich viele wichtige Eigenschaften herleiten, die nicht nur in der analytischen Geometrie von Interesse sind. So liefert das Vektorprodukt. Ähnlich wie bei der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren gibt es ein grafisches und ein mathematisches Lösungsverfahren. Das grafische Verfahren ist allerdings so komplex, dass hier nur das mathematische Löungsverfahren vorgestellt werden soll. Zu Beachten ist, dass nicht egal ist, in welcher Reihenfolge die Vektoren multipliziert werden.

Geometrische Interpretation des Vektorprodukts

Dabei stellen Pfeile, die parallel , gleich lang und gleich orientiert sind, denselben Vektor dar. Geometrisch lässt es sich wie folgt definieren:. Wie bei der normalen Multiplikation aber seltener als dort wird, wenn klar ist, was gemeint ist, das Multiplikationszeichen manchmal weggelassen:. Führt man in der euklidischen Ebene bzw. Die Eigenschaften 2 und 3 fasst man auch zusammen zu: Das Skalarprodukt ist bilinear. Eigenschaft verdeutlicht, dass dabei ein Skalar und zwei Vektoren so verknüpft werden, dass die Klammern wie beim Assoziativgesetz verschoben werden können. Da das Skalarprodukt keine innere Verknüpfung ist, ist ein Skalarprodukt von drei Vektoren nicht definiert, daher stellt sich die Frage nach einer echten Assoziativität nicht. Im Allgemeinen gilt also. Weder die geometrische Definition noch die Definition in kartesischen Koordinaten ist willkürlich. Beide folgen aus der geometrisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge ist, und der algebraisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt die obigen Eigenschaften 1—3 erfüllt.